Специалистов высшей программистской квалификации, в принципе, можно готовить на базе хорошего гуманитарного курса (например, философии либо лингвистики) или математического. Однако из-за отсутствия в России «критической массы» высококвалифицированных кадров в гуманитарных областях остается лишь вторая из этих возможностей. Причем при подготовке «информатиков» необходимо принимать во внимание следующее противоречие: начав на первом курсе изучать новейшие системы, студент выходит из вуза с знаниями о морально устаревших системах. Кроме того, в условиях дефицита людских ресурсов уже нельзя заведомо отметать 80% отнюдь не худших студентов, как предусматривает традиционная российская система подготовки кадров высшей квалификации (это особенно ярко проявляется в МГУ, НГУ и МФТИ). Недопустимо также, пытаясь формально приблизиться к мировому уровню, растерять достоинства уже имеющейся системы образования.

Математика все больше делится на две области с разными аппаратами и ценностями – численную и нечисленную. Нечисленная математика дает как раз тот «поворот мозгов», который требуется для успешной работы на средних и высших должностях ИТ-производства. Она великолепно поддерживает нынешние технологии индустриального программирования, что позволяет всем успешно закончившим вуз стать квалифицированными и востребованными специалистами. «Отходы» снижаются с 80% до приемлемых 20%.

Используемый сегодня учебный план в области прикладной математики и информатики составлен специалистами, в принципе понимающими проблему перехода к нечисленной основе. Но они не могут преодолеть давления ученых советов, в которых подавляющее агрессивное большинство составляют специалисты, привыкшие отождествлять математику с интегралами. В итоге недостаточное количество нечисленных курсов было механически добавлено к численным ради сохранения ведущей роли математического анализа, а сам план получился перегруженным и практически неисполнимым.

Общие педагогические принципы

Как известно, Я. А. Коменский в качестве базового педагогического принципа выдвинул такое требование: преподаватель должен излагать лишь истины, дабы не вводить учащихся в заблуждение [1]. В школе такое требование привело к развитию авторитарного стиля преподавания. Учитель уверен, что излагает истины, а учащиеся привыкают без сомнений заглатывать сведения, которые им преподносятся. Это губительно действует на задатки критического мышления учащихся, и в вуз они приходят с уже сформировавшимися навыками рутинного мышления:

  • панически боятся ошибок, поскольку, даже исправленные, они приводят к снижению оценок за работу;
  • привыкли к тому, что в первую очередь оцениваются результат и оформление работы, а не ее содержание. Оригинальное решение задачи, в которое вкралась техническая либо арифметическая ошибка, обусловившая неправильный ответ, обычно удостаивается двойки. Так же оценивается оригинальное решение, не соответствующее канонам оформления;
  • воспринимают слова учителя как нечто, не подлежащее сомнению;
  • привыкли к тому, что их решения оцениваются извне, то есть это делает учитель либо полученный результат сравнивается с ответом в конце задачника. Навыки самопроверки почти отсутствуют;
  • рассматривают учителя и учебники как единственные источники знаний и теряются при необходимости что-то изучить самостоятельно. Более того, за самостоятельное получение неканонических знаний часто следует их наказание учителем и порицание со стороны класса;
  • моментально перестают работать, как только одного из них вызывают к доске для решения задачи;
  • привыкли к формальной дисциплине на занятиях и к тому, что задать соседу вопрос является криминалом, а сидеть, ничего не понимая, – нет;
  • практически не умеют задавать вопросы и осознанно формулировать, что же ими не понято, а сознаться в непонимании зачастую считают позором.

Развитие логики XX века заставило научное сообщество осознать несостоятельность мифа об абсолютности научной истины и эвфемизмов, гласящих, что научное познание является приближением к истине. Выяснилось, что даже в математике исходные понятия гораздо более относительны, чем этого можно было ожидать, когда формировалось научное мировоззрение. Теперь понятно, что упомянутое пожелание Коменского невыполнимо, но призрак абсолютной истины по-прежнему бродит в методиках преподавания. Кажется аморальным учить студентов тому, недостатки чего ты знаешь. А разве не более аморально учить тому, недостатки чего тебе неизвестны? Зачастую эта неизвестность оказывается результатом нежелания знать, уклонения от «неудобных» знаний.

Принцип 1: бесспорное бесполезно. Любое научное знание односторонне, является результатом самоограничения. Это самоограничение должно стать сознательным, а возможные альтернативы – осознаваться, а не отвергаться.

Нужно стараться открывать дыры и недостатки даже в самых устоявшихся областях знания, показывать альтернативы. Это зачастую позволяет ярче обосновать преимущества наиболее распространенного на данный момент подхода в большинстве ситуаций нынешней практики. Кроме того, это психологически подготавливает учащихся к возможной смене парадигмы, а наиболее дерзких поощряет к критическим исследованиям в альтернативных областях, которые иначе остались бы вотчиной самодовольных невежд. Отказавшись от монополии на истину, преподаватель вынужден отказаться и от монополии на путь к ней.

Принцип 2: в идеале учитель должен помочь ученику выбрать наиболее подходящий для него путь. Это требует от преподавателя глубокого понимания сущности предмета и высокой общей культуры. Даже средний преподаватель в соответствующей атмосфере приучается терпимее относиться к нарушениям формы и не подавлять оригинальность мышления.

Одно из их важнейших различий творческого и рутинного мышления [2] – отношение к ошибкам. Творчески мыслящий человек рассматривает ошибку как закономерный этап на пути к решению задачи, а рутинно мыслящий – как грех. Первый стремится превратить выявленную и понятую им ошибку в элемент решения (хотя бы использовав ее для того, чтобы потом сделать наоборот). А второй не признает ошибку до последнего момента, и когда все же вынужден признать ее, пытается отбросить все сделанное и начать сначала.

Принцип 3: ошибка – неизбежный шаг на пути к решению трудной задачи. Цель преподавателя – научить студентов здравому отношению к ошибкам и превращению ошибочных попыток в правильное решение.

Для развития критического мышления студентов требуется научить критическому отношению к словам педагога, поэтому иногда на занятиях стоит допускать намеренные ошибки либо недостаточно обоснованные утверждения, а затем поощрять тех, кто их заметит. Группа, пропустившая такую ошибку, заслуживает моральной взбучки. Нужно ставить ловушки и другого рода: маскировать под ошибки или необоснованные выводы нетривиальные следствия из изучаемого материала и приводить к противоречию попытки их опровергнуть. Возражающий должен быть готов и к отстаиванию своих возражений, и к отступлению, если они будут признаны неправильными (в первую очередь им самим). Хороший психологический прием б- иногда реагировать на правильные ответы как на неправильные, требуя дополнительных обюяснений либо всячески вселяя в учащихся сомнение. Они должны научиться отстаивать то, в чем уверены. Недостаточно обоснованный ответ не является решением с точки зрения математика. Наконец, еще один вид ловушки – хвалить неверное решение, чтобы стимулировать учащихся к самопроверке, а не к ожиданию оценки преподавателя.

Принцип 4: вырабатывая у студентов здравое отношение к ошибкам, не стесняйтесь демонстрировать его на собственном примере. Допустимы даже некоторые провокационные приемы, чтобы разрушить стереотип безошибочного продвижения к истине и выработать навыки ответственного критического подхода.

Скорость работы и понимания материала у разных студентов – разная. При ориентации на средних учащихся остаются недогруженными сильнейшие и оказываются за бортом те, кто в силу большей глубины и основательности в дальнейшем могут оказаться как минимум не хуже. Как известно, быстрота понимания не означает его глубины (хотя и не противоречит ей), поэтому необходимо поощрять коллективную работу студентов. Надо вырабатывать у них навыки неформальной дисциплины и общения, не мешающего работе других. Если ты что-то не понял – сначала спроси товарища, а уже затем обращайся к преподавателю. Если товарищ понял что-то быстрее тебя, ему будет полезно обюяснить тебе это. И если он только думал, что понимает, то таким способом он выявит свою «дыру», а вместе учащиеся смогут задать более глубокий и точный вопрос.

Принцип 5: поощряйте коллективную работу в маленьких группах и взаимообмен идеями и решениями по инициативе учащихся. В какой-то мере этот принцип связан еще и с особенностями национальной психологии учащихся. В российских учебных заведениях никогда не было ни американского духа глубокого индивидуализма и безжалостной конкуренции, ни английской щепетильности в вопросах чести. Поэтому подсказки и списывание здесь неискоренимы, и лучше их легализовать, обратив на пользу обучению.

Одна из основных бед школярского подхода – преувеличенное внимание к оформлению работ. При этом упор делается на соответствие некоторым произвольно заданным внешним стандартам и на внешнюю красоту. Такая фетишизация внешних форм приводит многих способных учащихся к негативной реакции – к полному пренебрежению оформлением. Но в творческой работе оформление – это способ облечь содержание в соответствующую форму. Оформление является плохим, если мешает понять основные мысли. Причем гармония идей и оформления не всегда достижима в работе одного человека: одни лучше генерируют идеи, другие – их обосновывают, третьи – популяризируют. Здесь тоже стоит вспомнить о роли коллективной работы.

Принцип 6: поощряйте хорошее оформление хороших идей. Наказывайте и за безобразное оформление достойной мысли, и за красивую упаковку на пустышке.

Выбор базисного курса

В Удмуртском университете (УдГУ) мы проверили на практике ряд подходов к курсу логики и к его месту в системе образования (на таких специальностях, как математика, прикладная математика и информационные системы). Оказалось, что изменение подходов к логике повлияло на другие математические курсы, что в дальнейшем получило отражение в учебных планах групп повышенного уровня. Математический анализ и связанный с ним цикл дисциплин перестали играть роль станового хребта математического образования. Их место занял логический цикл.

Известно, что хорошая организация обучения требует выделения главного курса, задающего общий тон и систему ценностей. В математике основной дисциплиной долгое время считалась геометрия, затем она уступила место анализу, а во второй половине прошлого века, особенно в ряде зарубежных университетов, – алгебре. Логика, ставшая в XIX веке в значительной степени математической дисциплиной, накопила громадный потенциал идей, методов и результатов, и теперь она задает тон в математическом языке. Кроме того, логика, к счастью, не утеряла роли одной из ведущих гуманитарных дисциплин. Математические методы естественно вписались в систему неформальных и полуформальных методов традиционной логики, поэтому логика позволяет навести мосты между математикой и ее приложениями, прежде всего нетрадиционными, не охватываемыми аппаратом математического анализа. Но и с традиционными приложениями логика работает не хуже, чем аналитические дисциплины, прежде всего ввиду большей концептуальной мощности ее идей и возможности более глубокого анализа моделей. Поэтому логический цикл сейчас подготовлен к тому, чтобы быть ведущим.

Необходимо подчеркнуть, что выбор одного из четырех возможных базисных курсов диктуется квалификацией преподавательского состава и традициями конкретного вуза. Нельзя фиксировать его в жестком учебном плане, спускаемом сверху на основе опыта случайной кафедры случайного университета. И хотя недопустимо делать выводы о том, какая из основ лучше, следует сравнивать подходы к преподаванию математики, базирующиеся на разных фундаментах. Разные базисные курсы благоприятствуют различным типам мышления и определяют типы математических моделей, выбираемых в дальнейшем выпускниками. Так, аналитический цикл отрабатывает навыки манипулирования стандартными преобразованиями, символьными вычислениями и стандартными блоками рассуждений. Геометрический цикл базируется на соединении образного и точного мышления, а алгебраический – на выделении абстрактных структур и их взаимных представлений. Логический цикл при соответствующем преподавании развивает творческое мышление, навыки понимания и критического анализа, приближая математику к гуманитарным наукам.

Предварительный курс логики «Язык математики»

Курс «Язык математики» появился в программе УдГУ в конце 70-х годов. Тогда была достигнута договоренность о выделении в единый курс некоторых базисных логических понятий, необходимых для всех математических курсов, а кроме того, об использовании части часов «Введения в специальность» для настоящего введения в специальность.

Известно, что одним из базисных умений математика, особенно прикладника, является владение навыками перевода с естественного языка на формализованный и обратно. Традиционно это умение остается за рамками всех математических курсов: считается, что учащийся и так может прочитать сложную формулу, а записывать условия задач в виде формул он научится, подражая действиям преподавателя. Конечно, такое предположение необоснованно и может рассматриваться как грубая ошибка – одновременно методологическая, психологическая и методическая. Курс, посвященный математическому языку и методам перевода, оказался тем основным звеном, которое обеспечило высокий престиж логического цикла и его влияние на математику и информатику.

Вводится важное понятие «квазивысказывание» – утверждение, имеющее внешнюю форму высказывания, но не поддающееся проверке на истинность обюективными средствами, например «Саша любит Машу». Однако с такими выражениями часто обращаются по тем же правилам, что и с высказываниями. Они тесно связаны с высказываниями через аппарат модальностей. Например, утверждения «Волга впадает в Каспийское море» и «Сталин утверждал, что Троцкий ненавидел СССР» – это высказывания, а утверждения «Ваня уверен, что Волга впадает в Каспийское море» и «Троцкий ненавидел СССР» – уже квазивысказывания.

Обучению методам перевода мешает традиция начинать изложение логического языка с логики высказываний. Таблицы истинности половина первокурсников изучали самостоятельно либо проходили в школе, а остальные овладевают ими, как показывает опыт, за один академический час, поэтому стоит начинать прямо с языка логики предикатов. Высказывание AБ??B практически всегда является сокращенным выражением предикатной формулы Б??x(A(x)Б??B(x)) либо ее подстановочным частным случаем A(t)Б??B(t). Даже таблица истинности для импликации легче всего обюясняется на частных случаях общего выражения типа «Если x делится на 6, то x делится на 3».

В логике предикатов внимание студентов обращается на то, что перевод между формальным и естественным языками производится блоками, минимальными из которых являются комбинации Аристотеля:

все A есть B Б??x(A(x)Б?? B(x)),

некоторые A есть B Б??x(A(x)&B(x)).

При переводе на формальный язык внимание фиксируется не только на формальной правильности высказываний, но и на поиске достаточно выразительной формулировки. В идеале форма должна хотя бы намекать на те аспекты содержания, которые невыразимы в классической логике (в частности, на модальности), и тем самым облегчать обратный перевод на содержательный язык.

Не поощряется стремление учащихся при преобразованиях выносить все кванторы вперед, поскольку эта техника принадлежит лишь классической логике и даже в ней провоцирует ошибки при комбинации ограниченных кванторов. Скажем, для утверждения «Все парни любят девушек» неверны оба перевода:

Б??x Б??y ((П(x)&Д(y)Б?? Л(x,y)),

Б??x Б??y ((П(x)&Д(y)&Л(x,y)).

Поэтому в большинстве случаев поощряется водворенная форма, где каждый квантор охватывает минимальную подформулу. Для многих студентов становится открытием то, что сложное выражение чаще всего стоит писать либо «снаружи внутрь», либо «изнутри наружу», но не от начала к концу, и на это стоит обязательно обратить внимание.

Утверждения, одинаковые по синтаксической форме, часто должны переводиться по-разному в соответствии с их контекстом. Например, утверждения «Все члены Политбюро, избранного на XIV сюезде ВКП(б), ненавидели друг друга», «Все доисторические ящеры пожирали друг друга», «Все ханы воевали друг с другом» и «Все известные философы критиковали друг друга» переводятся, соответственно, как

Б??x Б??y (ЧП(x)&ЧП(y) & x=y&Б?? Н(x,y)&Н(y,x)),

Б??x (ДЯ(x)Б?? Б??y (ДЯ(y) & (П(x,y)Б?? П(y,x)))),

Б??x (Хан(x)Б?? Б??y (Хан(y) & В(x,y) & В(y,x))),

Б??x (ИФ(x)Б?? Б??y (ИФ(y) & К(x,y)) & Б??y ИФ(y) & К(y,x))).

Все это позволяет обосновать неалгоритмизируемость задач формализации и деформализации и показать, что именно здесь человек играет главную роль. Утверждение про ящеров позволяет выявить еще одну тонкость. Хочется перевести его как

Б??x (ДЯ(x)Б?? Б??y (ДЯ(y) & (П(x,y) * П(y,x)))),

где * обозначает исключающее «или». В самом деле, только у Чуковского «волки от испуга скушали друг друга». Но формулировка отрицания обоих вариантов позволяет сделать выбор в пользу первого: его отрицание столь же естественно, как его формулировка. Это позволяет обратить внимание еще на один принцип хорошей формализации: не говори лишнего без необходимости. Если утверждения уже стали истинными в естественной модели, поработайте с ними, а новые добавляйте, лишь когда появляется необходимость в них.

Простейший случай того, как понимание логики резко сокращает непроизводительную работу, – рассмотрение инвариантов цикла. Для нахождения ошибки либо улучшения программы чаще всего достаточно осознать, что же остается неизменным на каждой итерации цикла. Тогда станет ясно, как изменять то, что должно изменяться. Стандартно мыслящий программист вместо этого начинает прослеживать изменения значений, моделируя действия программы и в конце концов, запутывается. А ведь даже студенты понимают, что лучше выписать инвариант до написания сложного цикла.

Все это иллюстрирует основные принципы математической формализации, ее достоинства и недостатки, что позволяет приступить к подготовке студентов к работе аналитика и постановщика задач.

В курс языка математики включаются и базовые математические понятия. Они используются как для иллюстрации мощи и ограниченности формальных методов, так и для подчеркивания нестандартных ходов. В частности, аппарат диаграмм Венна [3] используется для разрушения стереотипа, в соответствии с которым чертеж не может быть доказательством, и одновременно для анализа самого понятия доказательства. На примере диаграмм обосновывается содержательное определение доказательства с точки зрения прикладной математики и информатики: доказательство – это конструкция, синтаксическая правильность которой гарантирует семантическую.

Множества используются, чтобы обратить внимание студентов на взаимосвязь между математическими формулировками и представлением данных. После прояснения трудностей, связанных с представлением данных как множеств, естественен переход к мультимножествам (наборам) и кортежам. В классическом определении функции полностью опущено одно из центральных мест – способ преобразования аргумента в результат, который является мостиком к теории алгоритмов, теории категорий и конструктивной логике. На основе понятия прямого произведения множеств показывается неадекватность теоретико-множественных конструкций и на примерах вводится язык коммутативных диаграмм.

Таким образом, вводный логический курс закладывает основы единого видения разных концепций математики и информатики, а также критического подхода к ним.

Другие курсы логического цикла

Общий курс логики обычно читается на первом курсе во втором семестре (хотя в нынешнем «спущенном сверху» учебном плане он «задвинут» на четвертый курс) и включает в себя классическую логику. Основным аппаратом являются семантические (аналитические) таблицы. Их можно ввести как кодификацию аппарата сокращенных таблиц истинности для логики высказываний, а затем дать его обобщение на логику предикатов. Большим методическим преимуществом семантических таблиц является то, что постановка задача дается в форме «проверить высказывание». Традиционные задачи на доказательство опасны тем, что приглушают критическое мышление и вызывают соблазн действовать по принципу «Вы только скажите, что именно надо доказать, а уж мы докажем!». Семантические таблицы позволяют ставить перед учащимися множество задач разной сложности, в том числе связывающих строгую технику формальных рассуждений с техникой перевода:

  • проверить рассуждение, записанное на естественном языке;
  • сформулировать следствие из посылок, выраженных на естественном языке;
  • восполнить утверждения, пропущенные в содержательном убедительном рассуждении на естественном языке, с тем чтобы оно стало математически корректным.

При формулировке данных задач часто используется методический прием, изобретенный Л. Кэрролом: формулировать задачи так, чтобы для их интерпретации приходилось изобретать собственный мир. Вот классический пример из Кэррола: «Некоторые цыплята – кошки. Некоторые кошки знают французский язык. Значит, некоторые цыплята знают французский язык».

Основные теоремы математической логики (корректности и полноты) позволяют показать разницу между математической и прикладной формализациями. От основных теорем естественен переход к теореме компактности и к методам нестандартного анализа [4]. Данный раздел включается в курс логики с тем, чтобы показать неединственность аналитического мира и продемонстрировать мощь логических методов в других областях математики.

Сегодня курсы по теории алгоритмов и неклассическим логикам рассматриваются прежде всего как мост от логической теории к ее приложениям в информатике и алгебре. Поэтому большое внимание уделяется взаимоотношениям алгебраических и алгоритмических понятий, сложности алгоритмов, конструктивным логикам и их взаимосвязи с программированием и теорией абстрактных типов данных.

К логическому циклу у нас в университете отнесли и курс «Математические структуры», который «стоит над» учебными циклами и читается в конце основного цикла математических дисциплин. Он посвящен показу методов взаимодействия и соотношений разных частей математики. Много внимания уделяется задачам, формулируемым на языке одного из разделов математики, но легче всего решаемым методами другого раздела (скажем, алгебра с помощью геометрии). В курсе «Математических структур» приходится резервировать хотя бы четверть времени на исправление недоработок других курсов. Каждый раз оказывается, что некоторые фундаментальные понятия, важные для приложений данной области математики, в ее титульном курсе были вообще забыты либо даны обзорно, без развития и решения задач. Точно так же происходит и с теоремами.

Барьеры

Опыт показал, что реализация изложенных идей организации преподавания может натолкнуться по крайней мере на три барьера.

Во-первых, можно легко впасть в профанацию, пытаясь преподавать логику без достаточной логической культуры. Логика – высокоуровневая наука, но она содержит несколько простейших методов, и ее преподавание исключительно легко вульгаризировать.

Во-вторых, встречаются попытки преподавания сложных логических преобразований без подготовки почвы. Каждый из других столпов математики может (ценой определенных вульгаризаций, проскакивания определений, анализа некоторых из используемых понятий и методов) практически «замкнуться на себе» и при этом создавать у студентов иллюзию цельного взгляда на математику, а то и на весь научный мир. Напротив, логика начинает давать интересные результаты преимущественно на стыке с другими областями. Она не может оторваться от философии [5], поэтому построение математики на базе логики не является самодостаточным, что влечет за собой сложности взаимодействия с другими дисциплинами. Это особенно актуально в тех университетах, где нет сильных разнообразных школ, поскольку нет и достаточного числа хороших специалистов в некоторой жизненно важной области, а в результате возникает перекос математического образования.

В-третьих, перестройка курса математики неизбежно сталкивается с сопротивлением мощного физического сообщества и большей части математиков, которые воспринимают анализ как «священную корову». Глупо преодолевать такое сопротивление в лоб: необходимо вводить новую ориентацию математики на основе новых специальностей либо тех, в которых неадекватность традиционных курсов высшей математики уже очевидна. Традиции почти никогда не заслуживают грубой ломки.

Кроме того, существует весьма сильное и тупое сопротивление бюрократического аппарата. Хотя законы прямо указывают на то, что стандартные программы и учебные планы имеют рекомендательный характер, последние проводятся в жизнь как абсолютная директива, а в инструкциях «милостиво» разрешается вузам использовать не более 10-17% учебного времени по своему усмотрению.

Взаимодействие с окружением

В последние годы основную часть сектора ИТ-индустрии Ижевска заняли компании, которыми руководят выпускники УдГУ, учившиеся по экспериментальной программе. Когда представители фирм встречались со студентами, последние были шокированы: боссы и ведущие специалисты говорили не о необходимости освоения новейших систем, а о том, что требуется обращать основное внимание (особенно в начале обучения) на фундаментальную подготовку, а главное – на те курсы, которые «поворачивают мозги в правильную сторону». И первое место среди этих курсов заняла логика.

Аналогичная ситуация наблюдается и в Ноб?воб?сиб?бирске. Там претензии типа «ваши выпускники не знают особенностей работы Cold Fusion» сменились осознанием того, что выпускники способны за пару месяцев стать асами работы с любой конкретной системой. А это достижимо лишь при наличии у них общей фундаментальной подготовки.

Нынешние стандартные учебные планы преподавания информационных технологий в вузах неадекватны сложившейся ситуации. Нужно создавать новую специальность, и единственный путь к цели – «отпустить в свободное плавание» тех, кто готов действовать в данном направлении, а затем обсудить полученный ими опыт и выработать рекомендации. Это соответствует и интересам студентов, поскольку именно «экспериментальные» выпускники более всего востребованы рынком. Опасны попытки (например, [6]) как можно быстрее вводить новые стандарты, ссылаясь на зарубежный опыт, но игнорируя его суть – блочность и альтернативность программ в западных стандартах.

Итак, какая информатика нужны «информатикам»? И какая система гуманитарных дисциплин им требуется? Опыт показывает, что ответ на первый вопрос легко отыскивается после перестройки цикла курсов математики. Однако и здесь необходимы альтернативные подходы и смелые решения. Ответ на второй вопрос в условиях российской реальности весьма болезнен. Для тех, чьей основной деятельностью является информационный анализ, гуманитарная составляющая знания становится не менее важным рабочим инструментом, чем математика и информатика. А отношение к ней и уровень ее преподавания сегодня просто ужасны.

Литература

  1. Я. A. Коменский. Избранные труды, т. 1. – М.: Просвещение. – 1988.
  2. Е. De Bono. Creative thinking. – New York. – 1974.
  3. А. С. Кузичев. Диаграммы Венна. – М.: Наука. – 1968.
  4. М. Девис. Прикладной нестандартный анализ. – М.: Мир. – 1980.
  5. Ан. А. Мальцев. Общее математическое образование: традиции и современность. – Новосибирск. – 1997.
  6. В. А. Сухомлин. ИТ-образование: концепция, образовательные стандарты, процесс стандартизации. – М.: Горячая линия – Телеком. – 2005.

Николай Непейвода (nnn@uni.udm.ru) – профессор Удмуртского государственного университета (Ижевск).

Поделитесь материалом с коллегами и друзьями