Математикам бесконечность известна с давних времен, однако постулировавшиеся ее свойства были таковы, что манипулировать с нею по аналогии с конечными величинами, а тем более реализовать ее поддержку в вычислительных системах, было невозможно. Тем не менее профессор Ярослав Сергеев из Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского, в настоящее время работающий в университете Калабрии (Италия), предложил немного изменить свойства бесконечности, сделав ее не «абсолютной», а относительной, чтобы появилась возможность учитывать бесконечно большие и бесконечно малые величины при математическом моделировании и в вычислительных системах. Предложенная Сергеевым модель бесконечности позволяет решить те задачи, которые ранее не были доступны «традиционной» арифметике.
Ключевой постулат «новой» арифметики состоит в том, что возможности человека ограничены. Как бы мы ни старались задать бесконечно большое число, оно всегда будет ограничено, например, листом бумаги, на котором записано. Человек, который производит измерения какой-нибудь физической величины, всегда может указать для нее предельное значение, которое можно измерять с помощью используемых им приборов. Максимально большое число, которое можно «измерять», Сергеев предложил называть «гроссван» и обозначать символом единицы в кружочке.
Свойства гроссвана таковы, что, например, его можно складывать с «обычными» натуральными числами. Превышение значения гроссвана означает, что мы взяли для записи числа второй листок бумаги или дополнительный измерительный прибор с другим калибром шкалы. Поэтому такие значения будут уже относиться к более широкой области значений, которую предлагается трактовать как гроссван в квадрате.
В качестве примера использования бесконечно больших чисел можно привести процедуру подсчета зерна в хранилище. Если кому-то потребуется пересчитать количество зерна в штуках, то это окажется очень сложной задачей, а результат будет неудобен для представления. Для подсчета зерна обычно используют не зерна, а мешки. При этом количество зерен в мешке и является гроссваном. Если же хранилище настолько большое, что количество мешков также не поддается подсчету, то можно воспользоваться еще более крупной единицей измерения, скажем, вагонами. Эта бесконечная величина второго порядка и называется «гроссван в квадрате». Сами же зернохранилища являются гроссваном в третьей степени, которым можно измерить количество зерна в городе или стране. В зависимости от того, какой масштаб «бесконечного» нужен, выбирают и степень гроссвана.
Введение гроссвана позволяет на компьютере строить модели, учитывающие как бесконечно большие, так и бесконечно малые значения. Это особенно важно для моделирования сложных процессов, которое необходимо проводить, например, для предсказания погоды, проведения геодезических исследований, моделирования поведения динамических газовых и жидких сред. Возможно, использование гроссвана позволит математически решить ранее не решаемые задачи, такие как моделирование системы трех тел, поведение системы в точках бифуркации или дискретное логарифмирование. Надо сказать, упрощение решения последней задачи грозит разрушить широко распространенную сегодня систему алгоритмов шифрования с открытым ключом.
Сергеев, кроме изобретения собственно правил обращения с «бесконечным», также предлагает программную библиотеку, которая реализует новую арифметику. Библиотеку можно встроить в ядро моделирования, расширив тем самым возможности такого программного обеспечения. В частности, он реализовал программу-калькулятор для выполнения вручную простейших операций с бесконечно большими и бесконечно малыми числами.
Сергеев уверен в важности своих разработок для математики, информатики, физики, причем с практической точки зрения. Профессор ищет заинтересованные организации — на Западе, а то и в России, которые бы приобрели его разработки.