От редакции "КвШ": Статья представляет собой краткое изложение (дайджест) реферата – выпускной работы, подготовленной автором в 10-м классе гимназии
Введение
Этот реферат написан на основании проведенной автором работы в мастерской по математическому компьютерному моделированию (Московская городская педагогическая гимназия-лаборатория № 1505, руководитель мастерской – Илья Рудольфович Дединский). Причиной выбора этой мастерской было желание автора наиболее выгодным образом соединить в своей работе занятия математикой, физикой и информатикой.
Целью проведения данной работы было освоение элементов методов моделирования и проверка гипотезы возможности применения метода математического компьютерного моделирования для физических (в частности, электродинамических) процессов.
Задачами, поставленными автором на разных этапах проведения данной работы, были:
· теоретическое изучение электродинамики;
· теоретическое изучение методов моделирования;
· создание математической модели электростатического поля, созданного несколькими зарядами, с помощью его силовой характеристики – напряженности и математической модели движения в этом поле заряженного тела.
· написание программы в среде Turbo Pascal 7.0 на основании математической модели.
· написание реферата по проведенной работе.
Несмотря на то что описаннные в статье модели созданы на основании информации из школьного курса физики, математики и информатики, использование метода математического компьютерного моделирования позволило автору исследовать явление, частично не поддающееся непосредственному изучению и не рассматривающееся теоретически в школьном курсе физики.
Данный реферат может использоваться для проведения лабораторных работ по электродинамике, так как анализ модели дает возможность полнее раскрыть сущность некоторых объектов изучения этого раздела физики. Кроме того, этот реферат может использоваться в качестве методического пособия для самостоятельного изучения методов моделирования, а также в качестве пособия по информатике.
Общее рассмотрение задачи моделирования
При возникновении проблемы невозможности непосредственного изучения объекта в данных условиях применяется моделирование.
| Моделирование – косвенное изучение предметов и явлений, не поддающихся непосредственному изучению в данных условиях, путем изучения аналогичных объектов |
Под аналогичными объектами понимаются такие предметы и явления, которые могут иметь отличное от изучаемого объекта физическое содержание, но должны иметь исследуемые свойства объекта. Например, движение тела под действием силы гравитационного взаимодействия аналогично движению заряженного тела с противоположным по знаку зарядом под действием электростатической (кулоновской) силы.
Так как эти два процесса аналогичны, то можно промоделировать один из них при помощи другого. Причем моделью и изучаемым объектом может быть любой из них: с помощью движения под действием силы тяготения можно промоделировать движение заряженной частицы и наоборот.
Существуют два основных критерия качества моделирования:
– критерий адекватности;
– критерий сложности.
Адекватностью модели объекту называется количество взаимосвязей объекта, отраженных в модели, то есть, проще говоря, то, насколько полно модель замещает объект. Это совсем не означает, что чем полнее замещение, тем "лучше" модель: полнота замещения (адекватность) определяется той точностью, которая нужна исследователю. Если стопроцентная точность не нужна, а нужна, скажем, пятидесятипроцентная, то оптимальной моделью будет именно та, адекватность которой равна 50%.
Сложностью модели называется степень удобства физических характеристик модели (например, размеров модели, скорости протекания процесса в модели, величин энергий и т. д.) для исследователя.
Выбор модели может быть рассмотрен как "проецирование" показателей объекта изучения на некоторую "координатную плоскость", координатными осями которой являются адекватность и сложность.
В реальной жизни используется критерий достаточного основания: свойства сохраняются лишь с необходимой исследователю точностью, а сложность стремится к минимально возможной при данной адекватности. В этом случае исследователь имеет дело с определенной зависимостью сложности от адекватности, которая выглядит примерно так:
При выборе показателей модели исследователь "выбирает" на оси адекватности необходимое ему значение. Он получает некоторую сложность; если данная сложность удовлетворяет его, то показатели модели выбраны, если не удовлетворяет, он меняет меру адекватности, и т. д. На практике этот анализ модели практически всегда проводится исследователем неосознанно.Модель напряженности электрического поля
Для ознакомления с методами математического компьютерного моделирования рассмотрим конкретную задачу, взятую из физики, потому что математическое моделирование физических процессов является наиболее "классическим" в курсе математического моделирования.
Задача: создание математической компьютерной модели напряженности электрического поля, созданного несколькими зарядами, и движение в этом поле заряженной частицы под действием силы электростатического взаимодействия.
Построим математическую модель напряженности электрического поля, созданного N зарядами. Повторим формулу, по которой считается напряженность:
, где
k – коэффициент пропорциональности, k ~ 8, 98755179 * 109
qn – величина заряда n-ного источника (измеряется в Кулонах);
r – расстояние между источником заряда (если источник заряда – материальная точка) и точкой, в которой считается напряженность,
, где
(xn, yn, zn –– координаты источника заряда; x, y, z – координаты точки, в которой считается напряжённость). Для простоты будем рассматривать движение на плоскости, тогда
Важно помнить, что E – векторная величина, и направление вектора напряженности, создаваемой в точке зарядом n, совпадает с направлением радиус-вектора между точкой, в которой находится заряд, и точкой, в которой считается напряженность.
Для того чтобы найти напряженность нашего поля в точке, воспользуемся принципом суперпозиции полей, то есть найдем сумму векторов напряженности в данной точке.
Теперь мы хотим промоделировать напряженность электрического поля во всех точках некоторой области, которой принадлежит заряд (для простоты возьмем только один заряд). Предположим также, что моделью является простой вывод "на бумагу" координат этой точки и координат вектора. Сразу возникает проблема: так как в любом радиусе от заряда количество точек бесконечно (по определению), то и время просчета будет бесконечно, то есть такую модель мы никогда не создадим. Кроме того, посчитать координаты всех точек с бесконечной точностью нельзя – и в силу несовершенности измерительных приборов, и в силу того, что (если бы и были такие приборы) время такого просчета бесконечно.
Для того чтобы решить эту проблему, разобьем пространство на некоторые равные участки, каждый из которых назовем элементарным.
В пределах каждого участка будем считать напряженность неизменной. Чем меньшие участки мы возьмем, тем больше будет точность нашей модели и тем больше будет модель соответствовать реальности. Однако так как модель графическая, то участки с размерами меньшими, чем можно различить человеческим глазом, не нужны.
С другой стороны, так как задача, поставленная в начале главы, предполагает создание компьютерной модели, то размеры участка меньше одного пиксела (пиксел – наименьший элемент изображения экрана, от англ. picture element) нам не нужны. Прием разделения пространства на конечные участки называется дискретизацией пространства (либо плоскости).
Напоследок скажем, что такой вид математического компьютерного моделирования называется решеточным и является достаточно часто используемым в научно- исследовательской деятельности.
С помощью уже этой части модели – статической части – можно поставить ряд экспериментов с целью исследования электростатического поля. Ниже приведен анализ картин распределения напряженности электростатических полей, созданных зарядами, расположенными некоторым специфическим образом.
Пример поля, созданного двумя положительными зарядами. (правый верхний рисунок)Пример поля, созданного положительным и отрицательным зарядами, равными по модулю (левый верхний рисунок)
Поле моделируется с помощью его силовой характеристики – напряженности. Величина напряженности на рисунке отображается соотношением красной и синей составляющих цвета закраски элементарного участка плоскости. Стоит отметить, что на данной картинке размер элементарного участка – один пиксел. Такой размер является конечным, тем не менее картина получилась достаточно точной, и человеческим глазом с трудом можно различить отдельные элементарные участки. Вблизи каждого из зарядов напряженность достаточно велика, по мере приближения к середине отрезка, концами которого являются заряды, она уменьшается, а точно в середине равна нулю. Причина этого в том, что напряженность – вектор. Поле создается двумя зарядами, поэтому суммарный вектор напряженности в точке по принципу суперпозиции полей будет складываться из двух векторов.
Теперь при приближении к середине отрезка, соединяющего заряды, угол уменьшается, то есть становится все острее и острее, поэтому диагональ параллелограмма, по правилу которого складываются отдельные векторы напряженности, увеличивается. В середине отрезка два равных вектора сонаправлены, поэтому суммарный вектор будет в два раза больше каждого из складываемых. Относительная близость середины отрезка к зарядам и удвоение вектора напряженности определяет то, что вектор в середине отрезка достаточно велик и цвет, которым закрашивается середина отрезка и ее окрестность, – красный.
На основе анализа полей, созданных этими двумя системами зарядов, можно анализировать и поля, созданные любыми другими системами, поэтому следующие две картины распределения напряженности поля мы анализировать не будем.
Модель движения заряженного тела в электростатическом поле
Теперь перейдем ко второй части нашей задачи: создадим математическую компьютерную модель движения заряженной частицы в том поле, которое мы уже промоделировали.
Вот алгоритм, по которому будет действовать эта модель:
|
1. Выбор массы, начального положения тела. 2. Расчет: а) проекций вектора силы, действующей на тело в точке с координатами x, y; б) проекций ускорения, которое тело имеет в точке с координатами x, y; в) проекций вектора скорости, которое тело имеет в точке с координатами x, y; г) изменения координат в зависимости от проекций скорости и размера единичного отрезка времени. 3. Если тело не притянуто к какому-либо заряду, то возвращаемся к пункту 2. |
С помощью этой части модели (динамической) тоже можно поставить ряд экспериментов. Ниже приведены картины траекторий движения заряженных тел в системах из одного и нескольких зарядов и их частичный анализ.
Движение отрицательно заряженного тела в поле, созданном положительным зарядом (верхний левый рисунок).В поле, созданном одним зарядом, тело может двигаться и по эллипсу (нижний правый рисунок).
По эллипсу тело может двигаться и вокруг двух и более зарядов (верхний правый рисунок).
Заряженное отрицательно тело двигается по траектории, похожей на "восьмерку", в поле, созданном двумя положительными зарядами (нижний левый рисунок).
Вектор начальной скорости перпендикулярен к радиус-вектору между зарядом и заряженным телом, поэтому сила, направленная вдоль этого радиус-вектора к заряду, не изменяет величины скорости тела, а только изменяет направление движения. Поэтому тело движется по траектории, близкой к окружности, практически не удаляясь от заряда и не приближаясь к нему. Конечно, существует и такое начальное положение тела в поле и такая величина вектора начальной скорости (при том же направлении), что траектория будет окружностью. Ускорение тела в данном случае только центростремительное, то есть тело движется по окружности равномерно.
В этом случае ускорение тела и центростремительное, и тангенциальное, то есть тело движется по эллипсу неравномерно. На практике оно просто ускоряется при приближении к заряду и замедляется при удалении от него. Движение по эллипсу обуславливается, например, тем, что вектор начальной скорости тела неперпендикулярен силе, действующей на тело со стороны заряда. При этом сила изменяет не только направление вектора скорости, но его величину.
Все рассуждения в этом случае аналогичны предыдущим, важно только помнить, что сила, действующая на тело, в этом случае равна векторной сумме сил, с которыми каждый из зарядов действует на тело в отдельности.
Во всех предыдущих случаях рассматривалось движение тела в полях, созданных зарядами, обратными по знаку заряду самого тела. Теперь рассмотрим движение тела в полях, созданных одноименными с его зарядом зарядами. В таком поле тело обычно не движется по замкнутой траектории (движется только в случае, когда оно "заперто" в системе), но отталкивается от зарядов и бесконечно удаляется от них.
Вот еще два примера:1. Система "зеркало". Особенностью системы является то, что она отталкивает тело, движущееся к ней.
2. Система "ускоритель". Ее особенность в том, что она выталкивает из себя тело в одном направлении, несмотря на начальное положение в нем тела, причем сообщает телу достаточно большое ускорение в процессе выталкивания.
P. S.
Данная модель не является единственной в своем роде, однако она создана независимо от других моделей. Кроме того, сравнение с некоторыми доступными автору моделями электродинамических явлений (среди них модель поля, созданная в Новосибирском государственном университете по заказу НИИВШ Госкомитета СССР по образованию, 1990) показывает, что программа не уступает им ни по глубине рассмотрения задачи, ни по удобству использования и интерфейсу.