Защита арифметических вычислений в компьютерных системах

при хранении и передаче, но не при обработке: как правило, данные обрабатываются, а программы выполняются в явном, незащищенном виде. Именно во время обработки информация наиболее уязвима для хакеров, программных закладок («троянских коней») и вирусов. Для обеспечения комплексной защиты информации при ее компьютерной обработке автором разработана стохастическая информационная технология, представленная в работах [1, 2, 3].

Принципиально новым элементом в данной технологии является возможность обрабатывать закодированную символьную информацию, не раскодируя ее, причем кодирование основано на стохастическом преобразовании команд и данных, и коды периодически меняются в ходе эксплуатации программы. Благодаря этому гарантируется (с любой заданной вероятностью ошибки) выявление попыток искажения информации и ее коррекция.

Стохастическое кодирование может применяться не только при реализации информационно-логических процедур, но и для защиты числовой информации при выполнении арифметических действий.

Краткое описание метода

Для чисел, с которыми выполняются арифметические действия, используется не двоичное представление, как в обычной реализации, а символьное (двоично-десятичное). Сразу после ввода в компьютер числовая информация подвергается стохастическому преобразованию и далее хранится, передается и обрабатывается только в закодированном виде: при вычислениях используются стохастические таблицы сложения, умножения и вычитания преобразованных чисел, находящиеся в оперативной памяти компьютера.

Во время обработки сами преобразованные числа и таблицы, по которым производятся вычисления, периодически случайным образом изменяются. Степень защищенности числовой информации и арифметических действий с ней определяется степенью защищенности и размерностью стохастических таблиц, используемых для кодирования и раскодирования данных.

Кодирование чисел

Непосредственно после ввода числа в компьютер вправо и влево от запятой в нем последовательно выделяются группы цифр по m разрядов (в неполные группы добавляется нужное число нулей). Затем каждая группа заменяется на уникальный стохастический индекс длиной L битов по кодовой таблице, содержащей такие индексы для всех чисел от 0 до 99...9 (m раз), и число превращается в последовательность случайных индексов.

Например, число 125627,829 при использовании таблицы, фрагмент которой показан на рис. 1, будет преобразовано в I_ξ+ I_ξ12 I_ξ56 I_ξ27 I_ξ, I_ξ82 I_ξ90

Чтобы можно было представить все числа различными индексами, m и L должны удовлетворять соотношению 2^L-1≥10^m или L≥log₂(10^m+1)~mlog₂10

В нашем примере m=2, а L=8.

Выбор значения m определяется требуемым уровнем защищенности числовой информации. Кодовую таблицу можно заполнить N=(10^m)! способами, следовательно, при m=1 для раскодирования истинных значений чисел потребуется перебор 10! (3 628 800) при m=2 — N=(10²)!>10¹⁰⁰, а при m=3 — N=(10³)!>>10¹⁰⁰⁰ вариантов. Тем самым, при m=1 степень защищенности (учитывая возможности современной вычислительной техники) низкая, в то время как при значениях начиная с 2 она вполне достаточна [4, 5]. Оптимальное соотношение защищенности и накладных расходов достигается при m=2.

Сложение и умножение закодированных чисел производится по таблицам размером 10^m х 10^m. Столбцы и строки такой таблицы соответствуют стохастическим индексам закодированных чисел, а в пересечении содержится результат операции, записанный также в индексном виде. На рис. 2 приведен фрагмент стохастической таблицы умножения при m=2.

Для вычитания используется таблица размером 10^m х 2 х 10^m, поскольку необходимо учитывать перенос старшего разряда из других индексов при отрицательном результате вычитания.

При повышении значения m необходимый объем памяти для таблиц резко возрастает. Например, при m=2 он составит около 4 х 10⁴ байт, а при m=3 — уже около 5 х 10⁶ байт. Правда, таблицы размером 10^m х 10^m и 10^m х 2 х 10^m могут быть сведены к m таблицам размером 10 х 10 или 10 х 20. Но при этом из-за усложнения кодирования и реализации вычислений значительно возрастает время обработки.

Реализация вычислений

Для выполнения сложения, вычитания и умножения каждое число представляется в виде суммы индексов с учетом разрядности индексируемых групп цифр. Затем по соответствующей таблице определяется результат операции для каждого разряда; поразрядные результаты складываются с использованием таблицы сложения, и таким образом формируется общий результат в индексном представлении. На рис. 3 приведен пример умножения двух чисел по таблице, показанной на рис. 2. Деление выполняется «столбиком» с применением таблиц умножения, вычитания и сложения. Единственное отличие от обычного алгоритма то, что в качестве разрядов выступают индексы, заменяющие группу из m цифр.

Таким образом, результатом арифметических операций с кодированными числами оказываются точно так же закодированные числа; разрядность чисел может быть любой. Перед выдачей результата пользователю он преобразуется в обычное символьное представление по таблице, обратной таблице кодирования.

Отметим, что время выполнения вычислений определяется количеством обращений к стохастическим таблицам и временем выполнения процедур типа регистр — память, а значит, находится в линейной зависимости от разрядности числа. Конечно, оно значительно выше, чем при использовании традиционной технологии, но при аппаратной реализации описанной системы в специальном устройстве, подключаемом к типовому компьютеру, разрыв значительно уменьшится. Программная же реализация может эффективно применяться в банковских, бухгалтерских и других финансовых системах для выполнения арифметических действий с числовой информацией, имеющей повышенный уровень конфиденциальности.

Литература

1. Насыпный В.В. Развитие теории построения открытых систем на основе информационной технологии искусственного интеллекта. М., 1994, 248 с.
2. Насыпный В.В. Синтез систем обработки информации с защитой от программных закладок и вирусов. М., 1997, 28 с.
3. Насыпный В.В. Комплексная защита компьютерных систем. «Мир ПК», 1998 г., № 4, с. 68—69.
4. Диффи У., Хэллмэн М.Э. Защищенность и имитостойкость: Введение в криптографию. ТИИЭР, т. 67, 1979 г., № 3, с. 71—109.
5. Теория и практика обеспечения информационной безопасности/Под ред. П.Д. Зегжда, М., 1996, 126 с.